Chứng minh đại số phép cộng điểm trên đường cong Twisted Edwards (tổng quát)

Abstract

Hệ mật RSA đang được thay thế dần bởi hệ mật dựa trên đường cong elliptic, hiện ở Việt Nam đã có 73 triệu căn cước công dân gắn chip [1] sử dụng chữ ký số ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) để xác thực định danh công dân, tuy nhiên kể từ năm 2017 đến nay đã có nhiều nghiên cứu về hệ mật dựa trên đường cong Edwards bởi nó có nhiều ưu điểm hơn hệ mặt elliptic [2], cho đến nay đã có 18 nền tảng Blockhain sử dụng hệ mặt dựa trên đường cong Edwards làm cơ sở mặt mà nguyên thủy [3]. Chứng minh đại số cho đường cong Edwards đã có trong [4]. Mở rộng nghiên cứu về đường cong Edwards, Bernstein cùng đồng nghiệp đã đưa ra một lớp đường cong mời tổng quát hóa dựa trên đường cong Edward gọi là twisted Edward cho bởi phương trình ax² + y² = 1+ dx²y² và chứng minh đại số cho phép cộng bằng lý thuyết hình học xạ ảnh. Theo như hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có chứng minh đại số phép cộng cho trường hợp tổng quát này. Bài báo này đưa ra phương pháp chứng minh đại số cho trường hợp tổng quát đồng thời cũng phát biểu và chứng minh định lý về tính đồng dạng giữa đường cong Edwards tổng quát và đường cong elliptic tổng quát dạng Weierstrass.