Một số tính chất của hàm lồi không trơn và ứng dụng

Abstract

Luận văn tập trung nghiên cứu lý thuyết một số tính chất của hàm lồi không trơn và ứng dụng trong tối ưu hóa. Phạm vi nghiên cứu giới hạn chủ yếu ở các không gian véctơ thực hữu hạn chiều, với một số mở rộng sang không gian Banach. Luận văn trình bày có hệ thống các khái niệm nền tảng của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, hàm đối ngẫu, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân, phép liên hợp Fenchel, cùng các quy tắc tính toán cơ bản. Bên cạnh đó, các điều kiện tối ưu với ràng buộc tuyến tính và phi tuyến, nhân tử Lagrange, chuẩn hóa và làm trơn Moreau–Yosida, cũng như song đối ngẫu Fenchel–Rockafellar được phân tích. Kết quả chính làm rõ vai trò trung tâm của lý thuyết đối ngẫu và dưới vi phân trong giải tích hàm hiện đại, đồng thời gợi mở ứng dụng trong các lĩnh vực như kinh tế học, điều khiển tối ưu, học máy và khoa học tính toán.