Định lý Weierstrass cho hàm hai biến và ứng dụng trong tối ưu hóa.

Abstract

Chương 1 trình bày tổng quan các khái niệm mở rộng về tính đơn điệu và phản đơn điệu của hàm hai biến bao gồm: đơn điệu, tựa đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn và tựa đơn điệu tuần hoàn; phản đơn điệu, phản tựa đơn điệu, phản đơn điệu tuần hoàn và phản tựa đơn điệu tuần hoàn. Đồng thời khảo sát kỹ lưỡng các đặc trưng và tính chất của một hàm phản tựa đơn điệu tuần hoàn trong nhiều bối cảnh khác nhau. Trên cơ sở đó, áp dụng tính phản tựa đơn điệu tuần hoàn để nghiên cứu kết quả mở rộng của Định lý Weierstrass cho hàm hai biến, cùng các kết quả tương đương quan trọng về tồn tại nghiệm cho bài toán giao khác rỗng và bài toán quan hệ biến phân. Nhiều ví dụ minh họa, phản ví dụ và nhận xét bổ sung được lồng ghép nhằm làm rõ sự khác biệt tinh tế giữa các tính chất và các kết quả trình bày. Chương 2 luận văn tập trung vào các ứng dụng của những kết quả lý thuyết ở Chương 1 cho các bài toán tối ưu và các mô hình liên quan. Cụ thể, chương trình bày sự tồn tại nghiệm cho bài toán minimax, bài toán điểm yên ngựa và bài toán trò chơi bất hợp tác. Các mô hình kinh tế - phân tích như bài toán cân bằng giá hay cân bằng Nash được thảo luận dưới góc nhìn của tính đơn điệu và đơn điệu tuần hoàn. Ngoài ra, chương cũng khảo sát sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức bất động và bài toán điểm bất động dựa trên những điều kiện tồn tại mới thu được từ Định lý Weierstrass hai biến. Mỗi mục đều kèm theo lập luận chặt chẽ, ví dụ minh họa và liên hệ với các kết quả cổ điển trong lý thuyết tối ưu.