Bài toán biên và trạng thái ổn định của bước đi ngẫu nhiên.

Abstract

Luận văn nghiên cứu bài toán biên và trạng thái ổn định của mô hình bước đi ngẫu nhiên trong không gian rời rạc. Trước hết, luận văn hệ thống hóa các kiến thức nền tảng về xác suất, xích Markov, hàm Green và phương trình Laplace rời rạc phục vụ cho việc phân tích. Tiếp theo, các mô hình bước đi ngẫu nhiên một chiều và hai chiều được khảo sát, tập trung vào các đại lượng như thời gian thoát, xác suất chạm biên và tính hồi quy. Bài toán biên được làm rõ thông qua mối liên hệ giữa bước đi ngẫu nhiên và bài toán Dirichlet rời rạc. Luận văn cũng nghiên cứu trạng thái ổn định của bước đi ngẫu nhiên, làm sáng tỏ mối liên hệ với định luật Fick và phân bố dừng. Các kết quả thu được cho thấy vai trò quan trọng của điều kiện biên và ràng buộc không gian đối với hành vi dài hạn của hệ. Qua đó, luận văn góp phần làm rõ mối liên hệ giữa mô hình ngẫu nhiên rời rạc và các phương trình vật lý cổ điển.