Bước đi ngẫu nhiên một chiều và các kết quả liên quan.

Abstract

Luận văn tập trung nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên một chiều, một mô hình cơ bản nhưng có vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và nhiều lĩnh vực ứng dụng như tài chính, bảo hiểm, mô hình hàng đợi và quản lý tồn kho. Mục tiêu chính của luận văn là hệ thống hóa các kết quả lý thuyết nền tảng của bước đi ngẫu nhiên một chiều, đồng thời làm rõ vai trò của thời điểm dừng và đẳng thức Wald trong việc phân tích các quá trình ngẫu nhiên. Nội dung luận văn được chia thành ba chương chính: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm biến ngẫu nhiên rời rạc, kỳ vọng và phương sai, xác suất và kỳ vọng có điều kiện, xích Markov, thời điểm dừng và bổ đề Doob–Dynkin. Đây là cơ sở lý thuyết quan trọng cho việc nghiên cứu bước đi ngẫu nhiên và các kết quả nâng cao ở các chương sau. Chương 2 nghiên cứu chi tiết bước đi ngẫu nhiên một chiều đơn giản, trong đó mỗi bước di chuyển ±1 với xác suất bằng nhau. Chương này phân tích kỳ vọng, phương sai, thời điểm chạm, tính Markov mạnh và hàm sinh xác suất của quá trình. Đặc biệt, bài toán sự phá sản của con bạc được trình bày như một ứng dụng tiêu biểu, giúp minh họa cách sử dụng phương trình sai phân để xác định xác suất thắng và thời gian kỳ vọng của trò chơi. Chương 3 tập trung vào đẳng thức Wald, bao gồm các dạng bậc nhất, bậc hai và bậc ba, cùng với các chứng minh và ứng dụng. Các kết quả này được áp dụng để xét lại bài toán sự phá sản của con bạc, nghiên cứu phân phối thời gian chạm ban đầu và phân tích các biến bậc thang trong bước đi ngẫu nhiên. Ngoài ra, luận văn còn trình bày mối liên hệ giữa bước đi ngẫu nhiên với mô hình hàng đợi, tồn kho và nguyên lý đối ngẫu. Thông qua việc kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và các ví dụ minh họa, luận văn cung cấp một cái nhìn có hệ thống và sâu sắc về bước đi ngẫu nhiên một chiều, đồng thời khẳng định đẳng thức Wald là một công cụ mạnh trong việc phân tích và giải quyết các bài toán xác suất có liên quan đến thời điểm dừng và các mô hình ngẫu nhiên trong thực tiễn.