Dưới vi phân hàm lồi và các vấn đề liên quan.

Abstract

Luận văn tập trung nghiên cứu về dưới vi phân của hàm lồi và các vấn đề liên quan trong giải tích lồi. Nội dung trình bày các kiến thức nền tảng về tập lồi, hàm lồi và các cấu trúc hình học như tập mức, epigraph và nón tiếp xúc. Tiếp theo, luận văn phân tích khái niệm đạo hàm theo hướng và dưới vi phân, qua đó làm rõ vai trò của dưới vi phân như một mở rộng của gradient trong trường hợp hàm không khả vi. Các tính chất quan trọng như tính lồi, tính bị chặn và các đặc trưng hình học của dưới vi phân được trình bày chi tiết. Bên cạnh đó, luận văn còn giới thiệu ε-dưới vi phân và ứng dụng trong xấp xỉ cũng như nghiên cứu các bài toán tối ưu không trơn. Mối liên hệ giữa hình học và giải tích được thể hiện thông qua các khái niệm như nón tiếp xúc, nón pháp tuyến và hàm khoảng cách. Kết quả nghiên cứu cho thấy dưới vi phân là công cụ quan trọng trong tối ưu hóa lồi và có nhiều ứng dụng trong toán học hiện đại, đặc biệt trong các bài toán tối ưu không khả vi.